Пример_1

Решение.

Решим данную задачу методом Рунге – Кутта в Mathcad.

«Для решения краевой задачи в Mathcad имеется встроенная функция sbval, реализующая метод стрельбы и позволяющая свести краевую задачу к задаче Коши. Функция sbval имеет следующие параметры:

• v– вектор, содержащий начальные приближения для недостающих начальных условий;
• x_min, x_max – границы интервала, на котором ищется решение;
• D(x,y) – вектор–функция, содержащий правые части системы дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентной исходному уравнению, размер вектора n совпадает со степенью старшей производной дифференциального уравнения;
• load(x_min,v) – вектор–функция, элементы которой соответствуют n значениям функций на левой границе интервала. Часть этих значений известна, а для части заданы начальные приближения в векторе v. Их уточненные значения будут найдены в процессе вычисления;
• score(x_max,y) – вектор–функция, имеющая то же число элементов, что и v. Каждое значение является разностью между начальными значениями в конечной точке интервала и соответствующей оценки для решения. Этот вектор показывает, на сколько близко найденное решение к истинному»[5, 48 c.].

Для решения данной задачи в Mathcad необходимо выполнить следующие действия:

1. Введем граничные условия: x1:=0 и x2:=1
2. Так как данная задача сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка: y^' = z и z^' = -xz + e^x, поэтому функция D имеет вид:
   
   Рис. 2.10
3. Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка содержит два начальных значения. Начальное приближение для недостающего значения задаем в векторе v, который в нашем случае состоит только из одного элемента: v₀: = 0
4. Зададим вектор – функции load и score, для этого необходимо ввести в позиции ввода рабочего аргумента выражения, описывающие данные функции:
   
   Рис.2.11
5. Вычислим функцию sbval. Для этого необходимо:
   
   • Присвоить данную функцию переменной S.

   • Выбрать меню «Вставить» - «функция» - категория «всё» - имя «sbval», нажать «ОК».
   • Заполнить данную функцию следующим образом:
     Рис. 2.12
   • На панели инструментов найти кнопку - «инструменты некоторых знаков», затем на панели «Вычисления» выбрать знак равенства нажать Enter, в результате чего получим следующее (рис. 2.13):
     
     Рис. 2.13
6. Теперь, когда нам стало известно недостающее начальное условие в задаче Коши, можно воспользоваться функцией rkfixed (y, x1, x2, npoints, D), которая возвращает матрицу. Первый столбец этой матрицы содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – решения и его первые n - 1 производные.
   • Зададим n: = 4
   • Зададим вектор начальных значений:
     
     Рис. 2.14
   • Присвоим данную функцию переменной Z
   • Выбрать меню «Вставить» - «функция» - категория «всё» - имя «sbval», нажать «ОК» или на панели инструментов выбрать .
   • Заполнить данную функцию следующим образом:
     
     Рис. 2.15
   • На панели инструментов найти кнопку - «инструменты некоторых знаков», затем на панели «Вычисления» выбрать знак равенства нажать Enter, в результате чего получим следующее (рис.2.16):
     
     Рис. 2.16
7. Построим график функции Z в декартовой системе координат:
   • Выбрать меню «Вставить» - «Графики» - «X-Y-зависимость» (выбрать нужный график), либо на панели инструментов выбрать и на панели «Графики» выбрать нужный тип графика – декартовый график и в появившемся шаблоне заполнить поля ввода данных (темные прямоугольники): имя переменной х по оси ОХ, имя функции f(x) по оси OY.
   • В появившихся полях ввода ввести предельные значения для осей абсцисс и ординат.
   • В итоге получаем (рис. 2.17):
     Рис. 2.17
8. Найдем угол стрельбы.
   • Воспользуемся формулой:

     tgα =	α * π
     	180

   • Подставим данные значения и выразим α:

     0,448 =	α * π	→   α =	0,448 * 180	= 25,669°
     	180		π