на главную Методы решения краевых задач
Главная Основные понятия Виды методов решения
краевых задач
Метод стрельбы Конечно-разностный
метод

Метод стрельбы


«Метод стрельбы сводит решение краевой задачи для ОДУ к решению итерационной последовательности задач Коши. Этот метод рассмотрим на примере следующей первой краевой задачи для ОДУ 2-го порядка:

{ y" = f(x,y,y'),  a < x < b; (2.1)
y(a) = y0,  x = a; (2.2)
y(b) = y1,   x = b, (2.3)

Вместо краевой задачи (2.1)-(2.3) рассматривается следующая задача Коши:
{ y" = f(x,y,y'),  a < x < b; (2.4)
y(a) = y0,  x = a; (2.5)  ,
y'(a) = tg α,   α : y(b,α) = y1, (2.6)
в которой интегральная кривая y(x,α) зависит не только от переменной x, но и от параметра α, который называется углом стрельбы.

Геометрическая интерпретация метода стрельбы
Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация метода стрельбы

Он выбирается из условия равенства значения интегральной кривой на правой границе y(b,α) значению y1 с наперед заданной точностью ε (рис. 2.1): |y(b,α) - y1|≤ ε   (2.7)

Угол пристрелки, удовлетворяющий неравенству (2.7), обозначим через α* . Интегральная кривая,полученная из решения задачи Коши (2.4)-(2.6) с углом, близким к этому значению, в соответствии с неравенством (2.7) и будет решением краевой задачи (2.1)-(2.3) с точностью ε.

Таким образом, алгоритм метода стрельбы следующий.

  1. Выбирается α0, например из условия:
    условие
  2. С этим значением α0 одним из методов решается задача Коши (2.4)-(2.6) с получением y(x,α0) и y(b,α0); если при этом выполняется условие (2.7), то краевая задача (2.1)-(2.3) решена с точностью ε.
  3. В противном случае могут быть следующие два варианта:
    1. y(b,α0) > y1; тогда угол стрельбы каким-либо способом уменьшается и решается задача Коши (2.4)-(2.6) тем же методом до тех пор, пока не выполнится условие y(b,α1) < y1;
    2. y(b,α0) < y1; тогда угол стрельбы каким-либо способом увеличивается и решается задача Коши до тех пор, пока не выполнится условие y(b,α1) > y1.
  4. Таким образом, угол стрельбы находится внутри интервала α ∈ (α01), после чего истинное значение α* угла стрельбы определяется методом половинного деления с реализацией следующей цепочки:
    1. αk+1 = (αk-1 + αk) / 2;
    2. y (x, αk+1);
    3. y (b, αk+1);
    4. анализируется неравенство |y(b,αk+1) - y1|≤ ε ; если оно выполнено, то α*k + αk+1) / 2 и y(x,α*) — истинная интегральная кривая; если неравенство не выполнено, то итерационный процесс повторяется начиная с пункта 4 а»[7, 180-182 c.].

Рассмотрим реализацию метода стрельбы на следующем примере: Пример_1


перейти в начало страницы

Карта сайта | Список литературы | Об авторе

©Селянина Л.С.
Hosted by uCoz