Метод стрельбы

Вместо краевой задачи (2.1)-(2.3) рассматривается следующая задача Коши:

{	y" = f(x,y,y'),  a < x < b;	(2.4)
	y(a) = y0,  x = a;	(2.5)  ,
	y'(a) = tg α,   α : y(b,α) = y1,	(2.6)

в которой интегральная кривая y(x,α) зависит не только от переменной x, но и от параметра α, который называется углом стрельбы.

Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация метода стрельбы

Он выбирается из условия равенства значения интегральной кривой на правой границе y(b,α) значению y₁ с наперед заданной точностью ε (рис. 2.1): |y(b,α) - y₁|≤ ε   (2.7)

Угол пристрелки, удовлетворяющий неравенству (2.7), обозначим через α^* . Интегральная кривая,полученная из решения задачи Коши (2.4)-(2.6) с углом, близким к этому значению, в соответствии с неравенством (2.7) и будет решением краевой задачи (2.1)-(2.3) с точностью ε.

Таким образом, алгоритм метода стрельбы следующий.

1. Выбирается α₀, например из условия:
   
   
2. С этим значением α₀ одним из методов решается задача Коши (2.4)-(2.6) с получением y(x,α₀) и y(b,α₀); если при этом выполняется условие (2.7), то краевая задача (2.1)-(2.3) решена с точностью ε.
3. В противном случае могут быть следующие два варианта:
   1. y(b,α₀) > y₁; тогда угол стрельбы каким-либо способом уменьшается и решается задача Коши (2.4)-(2.6) тем же методом до тех пор, пока не выполнится условие y(b,α₁) < y₁;
   2. y(b,α₀) < y₁; тогда угол стрельбы каким-либо способом увеличивается и решается задача Коши до тех пор, пока не выполнится условие y(b,α₁) > y₁.
4. Таким образом, угол стрельбы находится внутри интервала α ∈ (α₀,α₁), после чего истинное значение α^* угла стрельбы определяется методом половинного деления с реализацией следующей цепочки:
   1. α_k+1 = (α_k-1 + α_k) / 2;
   2. y (x, α_k+1);
   3. y (b, α_k+1);
   4. анализируется неравенство |y(b,α_k+1) - y₁|≤ ε ; если оно выполнено, то α^* (α_k + α_k+1) / 2 и y(x,α^*) — истинная интегральная кривая; если неравенство не выполнено, то итерационный процесс повторяется начиная с пункта 4 а»[7, 180-182 c.].