Метод стрельбы
«Метод стрельбы сводит решение краевой задачи для ОДУ к решению итерационной последовательности задач Коши. Этот метод рассмотрим на примере следующей первой краевой задачи для ОДУ 2-го порядка:
{ |
y" = f(x,y,y'), a < x < b; |
(2.1) |
y(a) = y0, x = a; |
(2.2) |
y(b) = y1, x = b, |
(2.3) |
Вместо краевой задачи (2.1)-(2.3) рассматривается следующая задача Коши:
{ |
y" = f(x,y,y'), a < x < b; |
(2.4) |
y(a) = y0, x = a; |
(2.5) , |
y'(a) = tg α, α : y(b,α) = y1, |
(2.6) |
в которой интегральная кривая y(x,α) зависит не только от переменной x, но и от параметра α, который называется углом стрельбы.

Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация метода стрельбы
Он выбирается из условия равенства значения интегральной кривой на правой границе y(b,α) значению y1 с наперед заданной точностью ε (рис. 2.1): |y(b,α) - y1|≤ ε (2.7)
Угол пристрелки, удовлетворяющий неравенству (2.7), обозначим через α* . Интегральная кривая,полученная из решения задачи Коши (2.4)-(2.6) с углом, близким к этому значению, в соответствии с неравенством (2.7) и будет решением краевой задачи (2.1)-(2.3) с точностью ε.
Таким образом, алгоритм метода стрельбы следующий.
- Выбирается α0, например из условия:

- С этим значением α0 одним из методов решается задача Коши (2.4)-(2.6) с получением y(x,α0) и y(b,α0); если при этом выполняется условие (2.7), то краевая задача (2.1)-(2.3) решена с точностью ε.
- В противном случае могут быть следующие два варианта:
- y(b,α0) > y1; тогда угол стрельбы каким-либо способом уменьшается и решается задача Коши (2.4)-(2.6) тем же методом до тех пор, пока не выполнится условие y(b,α1) < y1;
- y(b,α0) < y1; тогда угол стрельбы каким-либо способом увеличивается и решается задача Коши до тех пор, пока не выполнится условие y(b,α1) > y1.
- Таким образом, угол стрельбы находится внутри интервала α ∈ (α0,α1), после чего истинное значение α* угла стрельбы определяется методом половинного деления с реализацией следующей цепочки:
- αk+1 = (αk-1 + αk) / 2;
- y (x, αk+1);
- y (b, αk+1);
- анализируется неравенство |y(b,αk+1) - y1|≤ ε ; если оно выполнено, то α* (αk + αk+1) / 2 и y(x,α*) — истинная интегральная кривая; если неравенство не выполнено, то итерационный процесс повторяется начиная с пункта 4 а»[7, 180-182 c.].
Рассмотрим реализацию метода стрельбы на следующем примере: Пример_1
©Селянина Л.С.
|