Основные понятия

Определение 1: «Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y=f(x), и ее производные y^',y^",...,y⁽ⁿ⁾. Символически дифференциальное уравнение можно написать так: F(x,y,y^',y^",...,y⁽ⁿ⁾)=0

Или

Если искомая функция есть функция одного независимого переменного, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным» [4, 16 c.].

Определение 2: «Краевая задача — это задача отыскания частного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

с дополнительными условиями, налагаемыми на значения функций не менее чем в двух точках отрезка. Следовательно, краевая задача ставится для системы дифференциальных уравнений порядка не менее второго (или одного дифференциального уравнения порядка не ниже второго).Свое название краевая задача получила по случаю, в котором дополнительные условия заданы на концах (краях) отрезка. Естественно, дополнительные условия могут задаваться и во внутренних точках отрезка. Такие условия называются внутренними краевыми условиями. Краевые условия могут связывать между собой значения нескольких функций, производных функций или комбинаций функций и производных в одной или нескольких точках отрезка, на котором ищется решение»[3, 144 c.].

«Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение F(x,y(x),y^'(x),y^"(x),...,y⁽ⁿ⁾(x))=0, a ≤ x ≤ b , (1.1.) и краевые условия

φi(y(a),y'(a),...,y(n-1)(a))=0, i=1,2,...,L, ψi(y(b),y'(b),...,y(n-1)(b))=0, j=L+1,...,n,

(1.2.)

где F(x,y,y^',...,y⁽ⁿ⁾); ψ_i(y,y^',...,y^(n-1)), i=1,...,L; ψ_i(y,y^',...,y^(n-1)), j=L+1,...,n - функции указанных аргументов, заданные в некоторой области их изменения; L и (n-L) - число условий на левом и правом концах отрезка соответственно. Общее количество условий равно порядку дифференциального уравнения.

Требуется найти функцию у = у(х), которая на отрезке [a,b] удовлетворяет уравнению (1.1), а на концах отрезка — краевым условиям (1.2).

Если уравнения (1.1),(1.2) линейны относительно искомой функции и ее производных, то краевая задача называется линейной.

Для простоты ограничимся частным случаем линейной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка (n = 2), которая наиболее часто ставится в вычислительной практике и записывается в виде

где р(х), q(х), f(х) ∈ C₂[a,b] - заданные функции, а α₀, α₁, ß₀, ß₁, A,B -заданные числа, α_j²+ß_j²>0, j=0,1.

Требуется найти функцию у(х) , удовлетворяющую уравнению (1.3) и краевым условиям (1.4).Краевые условия при α_j ≠ 0, ß_j ≠ 0,j=0,1, задают линейную связь между значениями искомого решения и его производной на концах отрезка.

В простейшем случае, когда ß₀=0, ß₁=0, краевые условия задают на концах отрезка только значения функции у(а), у(b) . Такие функциональные условия называют краевыми условиями первого рода.В этом случае краевая задача называется первой краевой задачей.

В случае, когда α₀=0, α₁=0, т.е. на концах отрезка заданы только значения производных, краевые условия являются дифференциальными. Такие краевые условия называют условиями второго рода или «мягкими». Последнее название обусловлено тем, что они определяют на концах отрезка всего лишь наклоны интегральных кривых, а не значения функции у(х). В этом случае задача (1.3),(1.4) называется второй краевой задачей.

В общем случае, когда α₀ и (или) α₁; ß₀ и (или) ß₁, не равны нулю, краевые условия носят функционально-дифференциальный характер и называются условиями третьего рода.Тогда задача (1.3),(1.4) называется третьей краевой задачей.

Например, условия y (а) = А, y(b) = В являются условиями первого рода. Геометрически это означает, что при решении первой краевой задачи требуется найти интегральную кривую уравнения (1.3), проходящую через данные точки (а,А),(b,В) (рис.1.1,а). Условия y^'(а) = А, y^'(b) = В являются условиями второго рода. Геометрически вторая краевая задача сводится к отысканию интегральной кривой уравнения, пересекающей прямые х = а, х = b под заданными углами α, ß, где tgα=A, tgß=B (рис.1.1,6).

Условия y^'(а) = А, y(b) = В являются частным случаем краевых условий третьего рода, так как α₀=0, ß₀=1, α₁=1, ß₁=0. Геометрически данная краевая задача сводится к отысканию интегральной кривой уравнения, проходящей через точку (b,В) и пересекающей прямую х = а под данным углом α , где tgα=A (рис.1.1,в).

Рис.1.1

В общем случае краевая задача может:

• иметь единственное решение;
• не иметь решений;
• иметь несколько или бесконечно много решений»[2, 337-338 c.].

---

---

Карта сайта

|

Список литературы

|

Об авторе

---

©Селянина Л.С.