Конечно-разностный метод

Значения y_i, i = n-1, n-2, ... , 1, находятся в обратном ходе с помощью равенств y_i = A _iy_i+1 + B_i:

»[7, 176-178 c.]  (3.10)

«Рассмотрим вторую краевую задачу:

(3.11) (3.12) (3.13)

и будем решать ее конечно - разностным методом, заменяя дифференциальные операторы отношением конечных разностей с использованием формул численного дифференцирования»[7, 176 c.].

Для этого введем конечно-разностную сетку «на отрезке [a,b] с шагом

h =	b - a	:  ωh = {xi = ih, i = 0, ... , n}.
	n

На этой сетке определяются сеточные функции p_i := p(x_i), q_i := q(x_i), f_i := f(x_i), (3.14) отвечающие функциональным коэффициентам данного дифференциального уравнения (3.11). Cчитая y(x) точным решением данной краевой задачи (3.11)-(3.13), через y_i = y(x_i)(3.15) будем обозначать i-ую компоненту искомого каркаса приближенного решения y_n(x) = y(x_i).

Фиксируя в уравнении (3.11) x = x_i, с учетом обозначений (3.14) приходим к равенствам y^"(x_i)+ p_iy^'(x_i) + q_iy(x_i) = f_i, (3.16) где целая переменная i может принимать значения от 0 до n по числу узлов в сетки, а под y(x_i), y^'(x_i), y^"(x_i) понимаются значения точного решения y(x) и его производных в i – ом узле. В каждом внутреннем узле сетки ω_h, т.е. при i=1,2,… ,n-1, значения производных аппроксимируем конечноразностными отношениями по симметричным формулам второго порядка точности.

	(3.17)
	(3.18)

В результате подстановки (3.17)-(3.18) в равенства (3.16) при i=1,2,… n-1 получаем (обозначения которых соответствуют (3.15)):

(3.19)

После приведения подобных членов в (3.19) получаем стандартное трехточечное разностное уравнение второго порядка

(1 +	h	pi) yi+1 - (2 - h2 qi) yi + (1 +	h	pi) yi-1 = h2 fi, где i = 1, 2,..., n-1	(3.20)
	2		2

Интерпретируя (3.20) как компактную запись системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов, видим, что число уравнений в ней n - 1 , в то время как неизвестных - n + 1: y₀, y₁, ... , y_n. Два недостающих уравнения этой системы можно получить на основе краевых условий (3.12)-(3.13) данной задачи&.

Будем рассматривать два варианта аппроксимации входящих в краевые условия»[1, 626-628 c.].

«С этой целью разложим функцию на точном решении в ряд Тейлора до 3-й производной включительно в окрестности узла х = а для левой границы и в окрестности узла х = b для правой границы и определим по этим разложениям y₁ и y_n-1.